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高中数学概率专题

栏目分类:高三数学学习方法 发布日期:2016-12-22 浏览次数:
学而思网校小编为您带来高中数学概率专题,希望对大家有所帮助 高中数学概率专题(一) 利用频率估算法:大量重复试验中,事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近,那么这个常数
学而思网校小编为您带来高中数学概率专题,希望对大家有所帮助

高中数学概率专题(一)

      利用频率估算法:大量重复试验中,事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近,那么这个常数p就叫做事件A的概率(有些时候用计算出A发生的所有频率的平均值作为其概率).

      列表法:当一次试验要设计两个因素,可能出现的结果数目较多时,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用列表法.其中一个因素作为行标,另一个因素作为列标.

      特别注意放回去与不放回去的列表法的不同.如:一只箱子中有三张卡片,上面分别是数字1、2、3,第一抽出一张后再放回去再抽第二次,两次抽到数字为数字1和2或者2和1的概率是多少?若不放回去,两次抽到数字为数字1和2或者2和1的概率是多少?

       树状图法:当一次试验要设计三个或更多的因素时,用列表法就不方便了,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用树状图法求概率.

       注意:求概率的一个重要技巧:求某一事件的概率较难时,可先求其余事件的概率或考虑其反面的概率再用1减--即正难则反易.

高中数学概率专题(二)

考标要求考查角度

1.能正确指出自然和社会现象中的一些必然事件、不可能事件、不确定事件.

2.能从实际问题中了解概率的意义,能用列举法计算随机事件发生的概率.

3.能用大量重复试验时的频率估计事件发生的概率.  概率是中考命题的必考点,选材多来自游戏、抽奖等生活题材,主要考查必然事件、不可能事件及随机事件的区别,用列表、画树状图法求简单事件发生的概率以及用频率估计概率,题型以填空题、选择题及解答题的形式出现.

知识梳理

一、事件的有关概念

1.必然事件

在现实生活中__________发生的事件称为必然事件.

2.不可能事件

在现实生活中__________发生的事件称为不可能事件.

3.随机事件

在现实生活中,有可能__________,也有可能__________的事件称为随机事件.

4.分类

事件确定事件必然事件不可能事件随机事件

二、用列举法求概率

1.定义

在随机事件中,一件事发生的可能性__________叫做这个事件的概率.

2.适用条件

(1)可能出现的结果为__________多个;

(2)各种结果发生的可能性__________.

3.求法

(1)利用__________或__________的方法列举出所有机会均等的结果;

(2)弄清我们关注的是哪个或哪些结果;

(3)求出关注的结果数与所有等可能出现的结果数的比值,即关注事件的概率.

列表法一般应用于两个元素,且结果的可能性较多的题目,当事件涉及三个或三个以上元素时,用树形图列举.

三、利用频率估计概率

1.适用条件

当试验的结果不是有限个或各种结果 发生的可能性不相等.

2.方法

进行大量重复试验,当事件发生的频率越来越靠近一个__________时,该__________就可认为是这个事件发生的概率.

四、概率的应用

概率是和实际结合非常紧密的数学知识,可以对生活中的某些现象作出评判,如解释摸奖,配紫色,评判游戏活动的公平性,数学竞赛获奖的可能性等等,还可以对某些事件作出决策.

自主测试

1.(2012浙江杭州)一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球,它们除颜色外都相同.若从中任意摸出一个球,则下列叙述正确的是(  )

A.摸到红球是必然事件B.摸到白球是不可能事件

C.摸到红球与摸到白球的可能性相等D.摸到红球比摸到白球的可能性大

2.(2012浙江宁波)一个不透明口袋中装着只有颜色不同的1个红球和2个白球,搅匀后从中摸出一个球,摸到白球的概率为(  )

A.23 B.12 C.13 D.1

3.有一箱规格相同的红、黄两种颜色 的小塑料球共1 000个.为了估计这两种颜色的球各有多少个,小明将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回箱子中,多次重复上述过程后,发现摸到红球的频率约为0.6,据此可以估计红球的个数约为__________.

4.有长度分别为2 cm,3 cm,4 cm,7 cm的四条线段,任取其中三条能组成三角形的概率是__________.

5.(2012福建泉州)在一个不透明的盒子中,共有“一白三黑”4个围棋子,它们除了颜色之外没有其他区别.

(1)随机地从盒中提出1子,则提出白子的概率是多少?

(2)随机地从盒中提出1子,不放回再提第二子,请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果,并求恰好提出“一黑一白”子的概率.

考点一、事件的分类

【例1】 下列事件属于必然事件的是(  )

A.在1个标准大气压下,水加热到100 ℃沸腾B.明天我市最高气温为56 ℃

C.中秋节晚上能看到月亮D.下雨后有彩虹

解析:区分事件发生的可能性,应注意积累生活经验和一些基本常识,然后再予以判断.

答案:A

方法总结 如何判断事件发生的可能性,我们可以凭直觉判断出有些事件发生的可能性大小,有时要结合日积月累的生活经 验,或者经过严谨的推理得到事实等.

触类旁通1下列事件中,为必然事件的是(  )

A.购买一张彩票,中奖B.打开电视,正在播放广告

C.抛掷一枚硬币,正面向上D.一个袋中只装有5个黑球,从中摸出一个球是黑球

考点二、用列举法求概率

【例2】 (2012湖南张家界)第七届中博会于2012年5月18日至20日在湖南召开,设立了长沙、株洲、湘潭和张家界4个会展区,聪聪一家用两天时间参观两个会展区:第一天从4个会展区中随机选择一个,第二天从余下3个会展区中再随机选择一个,如果每个会展区被选中的机会均等.

(1)请用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果;

(2)求聪聪一家第一天参观长沙会展区,第二天参观张家界会展区的概率;

(3)求张家界会展区被选中的概率.

分析:根据题意列表或画树状图,求出所有可能出现的结果,再根据每种事件出现的次数,求出对应的概率.

解:(1)用列表法:

或画树状图:

(2)由(1)知,共有12种等可能的结果,第一天参观长沙会展区,第二天参观张家界会展区(记为事件A)有一种可能结果,则P(A)=112.

(3)所有等可能结果中,出现张家界会展区的有6种可能结果,记张家界会展区被选中为事件B,则P(B)=612=12.

方法总结 1.用列举法求概率,无论是简单事件还是复杂事件,都先列举所有可能出现的结果,再代入P(A)=mn计算.

2.在用列举法解题时,一定要注意各种情况出现的可能性务必相同,不要出现重复、遗漏等现象.

3.判断游戏的公平性,在相同的条件下,应考虑随机事件发生的可能性是否相同,可能性大的获胜机会就大.

触类旁通2甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛,要从中选出两位同学打第一场比赛,

(1)请用树状图法或列表法,求恰好选中甲、乙两位同学的概率;

(2)若已确定甲打第一场,再从其余三位同学中随机选取一位,求恰好选中乙同学的概率.

考点三、频率与概率

【例3】 小明在学习了统计与概率的知识后,做了投掷骰子的试验,小明共做了100次试验,试验的结果如下:

朝上的点数123456

出现的次数171315232012

(1)试求“4点朝上”和“5点朝上”的频率;

(2)由于“4点朝上”的频率最大,能不能说一次试验中“4点朝上”的概率最大?为什么?

解:(1)“4点朝上”出现的频率是23100=0.23.

“5点朝上”出现的频率是20100=0.20.

(2)不能这样说,因为“4点 朝上”的频率最大并不能说明“4点朝上”这一事件发生的概率最大,只有当试验的次数足够多时,该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近.

方法总结 在大量重复试验中,随着统计数据的增大,频率稳定在某个常数左右,将该常数作为概率的估计值,两者的区别在于:频率是通过多次试验得到的数据,而概率是理论上事件发生的可能性,二者并不完全相同.

触类旁通3某质检员从一大批种子中抽取若干批,在同一条件下进行发芽试验,有关数据如下:

种子粒数501002005001 0003 0005 000

发芽种子粒数45921844589142 7324 556

发芽频率

(1)计算各批种子发芽频率,填入上表.

(2)根据频率的稳定性估计种子的发芽概率.

考点四、概率的应用

【例4】 (2011云南昆明) 小昆和小明玩摸牌游戏,游戏规则如下:有3张背面完全相同,牌面标有数字1,2,3的纸牌,将纸牌洗匀后背面朝上放在桌面上,随机 抽出一张,记下牌面数字,放回后洗匀再随机抽出一张.

(1)请用画树状图或列表的方法(只选其中一种),表示出两次抽出的纸牌数字可能出现的所有结果.

(2)若规定:两次抽出的纸牌数字之和为奇数,则小昆获胜;两次抽出的纸牌数字之和为偶数,则小明获胜.这个游戏公平吗?为什么?

解:(1)列表如下:

123

1(1,1)(1,2)(1,3)

2(2,1)(2,2)(2,3)

3(3,1)(3,2)(3,3)

或画树状图如下:

(2)可能出现的数字之和分别为2,3,4,3,4,5,4,5,6共9个,它们出现的可能性相同.其中奇数共4个,偶数共5个.

∴P(小昆获胜)=49,P(小明获胜)=59.

∵49≠59,∴游戏不公平.

方法总结 游戏公平与否,关键是根据规则算出各自的概率,概率均等则游戏公平,否则就不公平.设计游戏规则时,应先根据题意求出随机事件的各种可能出现的情况的概率,再根据其中概率相等时的情况设计公平的游戏规则,也可根据概率不相等时的情况设计公平的游戏规则.

触类旁通4(1)四张质地、大小、背面完全相同的卡片上,正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案.现把它们的正面向下随机摆放在桌面上,从中任意抽出一张,则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为(  )

A.14 B.12 C.34 D.1

(2)5月19日为中国旅游日,衢州推出“读万卷书,行万里路,游衢州景”的主题系列旅游惠民活动,市民王先生准备在优惠日当天上午从孔氏南宗庙、烂柯河、龙游石窟中随机选择一个地点;下午从江郎山、三衢石林、开化根博园中随机选择一个地点游玩.则王先生恰好上午选中孔氏南宗庙,下午选中江郎山这两个地点的概率是(  )

A.19 B.13 C.23 D.29

1.(2012湖南张家界)下列不是必然事件的是(  )

A.角平分线上的点到角两边的距离相等B.三角形任意两边之 和大于第三边

C.面积相等的两个三角形全等D.三角形内心到三边距离相等

2.(2012湖南湘潭)“湘潭是我家,爱护靠大家.”自我市开展整治“六乱”行动以来,我市学生更加自觉遵守交通规则.某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十 字路口,该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯,他在路口遇到红灯的概率为13,遇到黄灯的概率为19,那么他遇到绿灯的概率为(  )

A.13 B.23 C.49 D.59

3.(2012湖南长沙)任意抛掷一枚硬币,则“正面朝上”是__________事件.

4.(2012湖南娄底)在-1,0,13,1,2,3中任取一个数,取到无理数的概率是__________.

5.(2012湖南怀化)投掷一枚普通的正方体骰子24次,

(1)你认为下列四种说法哪几种是正确的?

①出现1点的概率等于出现3点的概率;

②投掷24次,2点一定会出现4次;

③投掷前默念几次“出现4点”,投掷结果出现4点的可能性就会加大;

④连续投掷6次,出现的点数之和不可能等于37.

(2)求出现5点的概率.

(3)出现6点大约有多少次?

1.某中学举行数学竞赛,经预赛,七、八年级各有一名 同学进入决赛,九年级有两名同学进入决赛,那么九年级同学获得前两名的概率是(  )

A.12 B.13 C.14 D.16

2.在一个不透明的盒子中装有8个白球,若干个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同.若从中随机摸出一个球,它是白球的概率为23,则黄球的个数为(  )

A.2 B.4 C.12 D.16

3.已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为12,下列说法错误的是(  )

A.连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上

B.连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上

C.大量反复抛一枚均匀硬币,平均100次出现正面朝上50次

D.通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的

4.在x2 2xy y2的空格 中,分别填上“+”或“-”,在所得的代数式中,能构成完全平方式的概率是(  )

A.1 B.34 C.12 D.14

5.在半径为2的圆中有一个内接正方形,现随机地往圆内投一粒米,落在正方形内的概率为__________.(注:π取3)

6.从-2,-1,2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标,该点在第四象限的概率是__________.

7.如图所示,一个圆形转盘被等分为八个扇形区域,上面分别标有数字1,2,3,4,转盘指针的位置固定,转动转盘后任其自由停止.转动转盘一次,当转盘停止转动时,记指针指向标有“3”所在区域的概率为P(3),指针指向标有“4”所在区域的概率为P(4),则P(3)__________P(4).(填“>”、“<”或“=”)

8.某市准备为青少年举行一次网球知识讲座,小明和妹妹都是网球球迷,要求爸爸去买门票,但爸爸只买回一张门票,那么谁去就成了问题,小明想到一个办法:他拿 出一个装有质地、大小相同的2x个红球与3x个白球的袋子,让爸爸摸出一个球,如果摸出的是红球,妹妹去听讲座,如果摸到的是白球,小明去听讲座.

(1)爸爸说这个办法不公平,请你用概率的知识解释原因;

(2)若爸爸从袋中取出3个白球,再用小明提出的办法来确定谁去听讲座,请问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利,说明理由.

参考答案

【知识梳理】

一、1.一定会 2.一定不会 3.发生 不发生

二、1.大小

2.(1)有限 (2)相等

3.(1)列表 画树状图

三、2.常数 常数

导学必备知识

自主测试

1.D 摸到红球是随机事件,故选项A错误;

摸到白球是随机事件,故选项B错误;

根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球,得出摸到红球比摸到白球的可能性大,故选项C错误;

根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球,得出摸到红球比摸到白球的可能性大,故选项D正确.

2.A 因为根据题意可得:一个不透明口袋中装着只有颜色不同的1个红球和2个白球,共3个,任意摸出1个,摸到白球的概率是2÷3=23.

3.600

4.14 因为长度为2 cm,3 cm,4 cm,7 cm的四条线段,从中任取三条线段共有2,3,4;3,4,7;2,4,7;3,4,7四种情况,而能组成三角形的有2,3,4,共有1种情况,

所以能组成三角形的概率是14.

5.解:(1)P(白子) =14.

(2)方法一:所有等可能的结果,画树状图如下:

∴P(一黑一白)=612=12.

方法二:所有等可能的结果,列表如下.

∴P(一黑一白)=612=12.

探究考点方法

触类旁通1.D

触类旁通2.解:(1)列表法如下:

甲乙丙丁

甲乙甲丙甲丁甲

乙甲乙丙乙丁乙

丙甲丙乙丙丁丙

丁甲丁乙丁丙丁

所有可能出现的情况有12种,其中甲、乙两位同学组合的情况有两种,所以P=212=16.

(2)若已确定甲打第一场,再从其余三位同学中随机选取一位,共有3种情况,选中乙的情况有一种,所以P(恰好选中乙同学)=13.

触类旁通3.解:(1)通过计算,发芽频率从左到右依次为:0.9,0.92,0.92,0.916,0.914,0.911,0.911.

(2)由(1)知,发芽频率逐渐稳定在0.9 11,因此可以估计种子的发芽概率为0.911.

触类旁通4.(1)B 在四个图案中,是中心对称图形的图案有2个,所以正面图案是中心对称图形的概率为12.

(2)A 列树形图可知共有9种等可能的结果,所以上午选中孔氏南宗庙,下午选中江郎山这两个地点的概率是19.

品鉴经典考题

1.C2.D 1-13+19=59.3.随机

4.13 这六个数中,无理数有2,3,∴取到无理数的概率是26=13.

5.解:(1)①④正确;

(2)出现5点的概率为16;

(3)因为出现6点的概率为16,故投掷骰子24次出现6点大约有24×16=4(次).

研习预测 试题

1.D 2.B 3.A 4.C 5.23 6.13 7.>

8.解:(1)∵P(小明胜)=35,P(妹妹胜)=25,

∴P(小明胜)≠P(妹妹胜).

∴这个办法不公平.

(2)当x>3时对小明有利,当x<3时对妹妹有利,

当x=3时是公平的.

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