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分式不等式知识点总结,高中数学分式不等式知识点总结

栏目分类:高一数学知识点 发布日期:2016-11-18 浏览次数:
学而思网校小编为您带来高中数学分式不等式知识点总结,希望对大家有所帮助 高中数学分式不等式知识点总结(一) 不等式期末复习讲义 一、 知识点 1.不等式性质 比较大小方法:
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    高中数学分式不等式知识点总结(一)

  不等式期末复习讲义

  一、 知识点

  1.不等式性质

  比较大小方法:(1)作差比较法(2)作商比较法

  不等式的基本性质

  ①对称性:a > bb > a

  ②传递性: a > b, b > ca > c

  ③可加性: a > b a + c > b + c

  ④可积性: a > b, c > 0ac > bc;

  a > b, c < 0ac < bc;

  ⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d

  ⑥乘法法则:a > b > 0, c > d > 0 ac > bd

  ⑦乘方法则:a > b > 0, an > bn (n∈N)

  ⑧开方法则:a > b > 0,

  2.算术平均数与几何平均数定理:

  (1)如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(当且仅当a=b时等号)

  (2)如果a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广:如果为实数,则

  重要结论

  1)如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2;

  (2)如果和x+y是定值S,那么当x=y时,和xy有最大值S2/4。

  3.证明不等式的常用方法:

  比较法:比较法是最基本、最重要的方法。当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式,则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小,则选择作商比较法;碰到绝对值或根式,我们还可以考虑作平方差。

  综合法:从已知或已证明过的不等式出发,根据不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。

  分析法:不等式两边的联系不够清楚,通过寻找不等式成立的充分条件,逐步将欲证的不等式转化,直到寻找到易证或已知成立的结论。

  4.不等式的解法

  (1) 不等式的有关概念

  同解不等式:两个不等式如果解集相同,那么这两个不等式叫做同解不等式。

  同解变形:一个不等式变形为另一个不等式时,如果这两个不等式是同解不等式,那么这种变形叫做同解变形。

  提问:请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形

  去分母、去括号、移项、合并同类项

  (2) 不等式ax > b的解法

  ①当a>0时不等式的解集是{x|x>b/a};

  ②当a<0时不等式的解集是{x|x<b/a};

  ③当a=0时,b<0,其解集是R;b0, 其解集是ф。

  (3) 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系

  (4)绝对值不等式

  |x|<a(a>0)的解集是{x|-a<x<a},几何表示为:

  o o

  -a   0   a

  |x|>a(a>0)的解集是{x|x<-a或x>a},几何表示为:

  o o

  -a 0 a

  小结:解绝对值不等式的关键是-去绝对值符号(整体思想,分类讨论)转化为不含绝对值的不等式,通常有下列三种解题思路:

  (1)定义法:利用绝对值的意义,通过分类讨论的方法去掉绝对值符号;

  (2)公式法:| f(x) | > a f(x) > a或f(x) < -a;| f(x) | < a -a<f(x) < a;

  (3)平方法:| f(x) | > a(a>0) f2(x) > a2;| f(x) | < a(a>0) f2(x) < a2;(4)几何意义。

  (5)分式不等式的解法

  (6)一元高次不等式的解法

  数轴标根法

  把不等式化为f(x)>0(或<0)的形式(首项系数化为正),然后分解因式,再把根按照从小到大的顺序在数轴上标出来,从右边入手画线,最后根据曲线写出不等式的解。

  (7)含有绝对值的不等式

  定理:|a| - |b|≤|a+b|≤|a| + |b|

  ? |a| - |b|≤|a+b|

  中当b=0或|a|>|b|且ab<0等号成立

  ? |a+b|≤|a| + |b|

  中当且仅当ab≥0等号成立

  推论1:|a1 + a2 + a3| ≤|a1 | +| a2 | + | a3|

  推广:|a1 + a2 +...+ an| ≤|a1 | +| a2 | +...+ | an|

  推论2:|a| - |b|≤|a-b|≤|a| + |b|

     高中数学分式不等式知识点总结(二)

  二、常见题型专题总结:

  专题一:利用不等式性质,判断其它不等式是否成立

  1、a、b∈R,则下列命题中的真命题是( C )

  A、若a>b,则|a|>|b| B、若a>b,则1/a<1/b

  C、若a>b,则a3>b3       D、若a>b,则a/b>1

  2、已知a<0.-1<b<0,则下列不等式成立的是( D )

  A、a>ab>ab2 B、ab2>ab>a

  C、ab>a>ab2 D、ab>ab2>a

  3、当0<a<b<1时,下列不等式成立的是( D )

  A、(1a)1/b >(1a)b B、(1+a)a>(1+b)b

  C、(1a)b >(1a)b/2 D、(1a)a>(1b)b

  4、若loga3>logb3>0,则a、b的关系是( B )

  A、0<a<b<1 B、b>a>1

  C、0<b<a<1 D、1<b<a

  5、若a>b>0,则下列不等式①1/a<1/b;②a2>b2;③lg(a2+1)>lg(b2+1);④2a>2b中成立的是( A )

  A、①②③④  B、①②③   C、①②    D、③④

  (二)比较大小

  1、若0<α<β<π/4,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b,则( A )

  A、a<b    B、a>b     C、ab<1     D、ab>2

  2、a、b为不等的正数,n∈N,则(anb+abn)-(an-1+bn-1)的符号是( C )

  A、恒正            B、恒负

  C、与a、b的大小有关      D、与n是奇数或偶数有关

  3、设1<x<10,则lg2x,lgx2,lg(lgx)的大小关系是lgx2>lg2x>lg(lgx)

  4、设a>0,a≠1,比较logat/2与loga(t+1)/2的大小。

  分析:要比较大小的式子较多,为避免盲目性,可先取特殊值估测各式大小关系,然后用比较法(作差)即可。

  (三)利用不等式性质判断P是Q的充分条件和必要条件

  1、设x、y∈R,判断下列各题中,命题甲与命题乙的充分必要关系

  ⑴命题甲:x>0且y>0,  命题乙:x+y>0且xy>0 充要条件

  ⑵命题甲:x>2且y>2,  命题乙:x+y>4且xy>4     充分不必要条件

  2、已知四个命题,其中a、b∈R

  ①a2<b2的充要条件是|a|<|b|;②a2<b2的充要条件是|a|2<|b|2;③a2<b2的充要条件是(a+b)与(a-b)异号;④a2<b2的充要条件是(|a|+|b|)与(|a|-|b|)异号.其中真命题的序号是_         。

  3、"a+b>2c"的一个充分条件是( C )

  A、a>c或b>c B、a>c或b<c   C、a>c且b>c  D、a>c且b<c

  (四)范围问题

  1、设60<a<84,-28<b<33,求:a+b,a-b,a/b的范围。

  2、若二次函数y=f(x)的图象过原点,且1≤f(1)≤2,3≤f(1)≤3,求f(2)的范围。

  (五)均值不等式变形问题

  1、当a、b∈R时,下列不等式不正确的是( D )

  A、a2+b2≥2|a|?|b| B、(a/2+b/2)2≥ab

  C、(a/2+b/2)2≤a2/2+b2/2 D、log1/2(a2+b2)≥log1/2(2|a|?|b|)

  2、x、y∈(0,+∞),则下列不等式中等号不成立的是( A )

  C、(x+y)(1/x+1/y)≥4 D、(lgx/2+lgy/2)2≤lg2x/2+lg2y/2

  3、已知a>0,b>0,a+b=1,则(1/a21)(1/b21)的最小值为( D )

  A、6       B、7       C、8       D、9

  4、已知a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,求证:1/a+1/b+1/c≥9

  5、已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证:

  (六)求函数最值

  1、若x>4,函数

  5、大、-6

  2、设x、y∈R, x+y=5,则3x+3y的最小值是( )D

  A、10      B、      C、      D、

  3、下列各式中最小值等于2的是( )D

  A、x/y+y/x B、 C、tanα+cotα D、2x+2-x

  4、已知实数a、b、c、d满足a+b=7,c+d=5,求(a+c)2+(b+d)2的最小值。

  5、已知x>0,y>0,2x+y=1,求1/x+1/y的最小值。

  (七)实际问题

  1、98(高考)如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为2cm的无盖长方体沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为am,高度为bm,已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比,现有制箱材料60m2,问当a、b各为多少米时,沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)。

  解一:设流出的水中杂质的质量分数为y,

  由题意y=k/ab,其中k为比例系数(k>0)

  据题设2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)

  由a>0,b>0可得0<a<30

  令t=2+a,则a=t-2从而当且仅当t=64/t,即t=8,a=6时等号成立。∴y=k/ab≥k/18

  当a=6时,b=3,

  综上所述,当a=6m,b=3m时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

  解二:设流出的水中杂质的质量分数为y,由题意y=k/ab,其中k为比例系数(k>0)

  要求y的最小值,即要求ab的最大值。

  据题设2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0),即a+2b+ab=30

  即a=6,b=3时,ab有最大值,从而y取最小值。

  综上所述,当a=6m,b=3m时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

  2、某工厂有旧墙一面长14米,现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形,面积为126  米2的厂房,工程条件是:①建1米新墙的费用为a元;②修1米旧墙的费用为a/4元;③拆去1米旧墙用所得材料建1米新墙的费用为a/2元.经过讨论有两种方案:⑴利用旧墙的一段x(x<14)米为矩形厂房的一面边长;⑵矩形厂房的一面长为x(x≥14).问如何利用旧墙,即x为多少米时,建墙费用最省?⑴⑵两种方案哪种方案最好?

  解:设总费用为y元,利用旧墙的一面矩形边长为x米,则另一边长为126/x米。

  ⑴若利用旧墙的一段x米(x<14)为矩形的一面边长,则修旧墙的费用为x?a/4元,剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14-x)?a/2元,其余的建新墙的费用为(2x+ 2?126/x-14)?a元,故总费用 当且仅当x=12时等号成立,∴x=12时ymin=7a(6-1)=35a。

  ⑵若利用旧墙的一段x米(x≥14)为矩形的一面边长,则修旧墙的费用为x?a/4元,建新墙的费用为(2x+ 2?126/x-14)?a元,故总费用

  设f(x)=x+126/x, x2>x1≥14,则f(x2)-f(x1)= x2+126/x2-(x1+126/x1)

  =(x2x1)(1126/x1x2)>0∴f(x)=x+126/x在[14,+∞)上递增,∴f(x)≥f(14)

  ∴x=14时ymin=7a/2+2a(14+126/14-7)=35.5a

  综上所述,采用方案⑴,即利用旧墙12米为矩形的一面边长,建墙费用最省。

  (八)比较法证明不等式

  1、已知a、b、m、n∈R+,证明:am+n+bm+n≥ambn+anbm

  变:已知a、b∈R+,证明:a3/b+b3/a≥a2+b2

  2、已知a、b∈R+,f(x)=2x2+1,a+b=1,证明:对任意实数p、q恒有a?f(p)+b?f(q)≥f(ap+bq)​​​​​​​

 

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