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函数解析式的求解及其常用方法知识点总结,高中数学函数解析式的求解及其常用方法知识点总结

栏目分类:高一数学知识点 发布日期:2017-02-10 浏览次数:
学而思网校小编为您带来高中数学函数解析式的求解及其常用方法知识点总结,希望对大家有所帮助 高中数学函数解析式的求解及其常用方法知识点总结(一) 函数解析式的常用求解
学而思网校小编为您带来高中数学函数解析式的求解及其常用方法知识点总结,希望对大家有所帮助

高中数学函数解析式的求解及其常用方法知识点总结(一)

函数解析式的常用求解方法:

(1)待定系数法:(已知函数类型如:一次、二次函数、反比例函数等):若已知f(x)的结构时,可设出含参数的表达式,再根据已知条件,列方程或方程组,从而求出待定的参数,求得f(x)的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法,它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。

(2)换元法(注意新元的取值范围):已知f(g(x))的表达式,欲求f(x),我们常设t=g(x),从而求得

,然后代入f(g(x))的表达式,从而得到f(t)的表达式,即为f(x)的表达式。

(3)配凑法(整体代换法):若已知f(g(x))的表达式,欲求f(x)的表达式,用换元法有困难时,(如g(x)不存在反函数)可把g(x)看成一个整体,把右边变为由g(x)组成的式子,再换元求出f(x)的式子。

(4)消元法(如自变量互为倒数、已知f(x)为奇函数且g(x)为偶函数等):若已知以函数为元的方程形式,若能设法构造另一个方程,组成方程组,再解这个方程组,求出函数元,称这个方法为消元法。

(5)赋值法(特殊值代入法):在求某些函数的表达式或求某些函数值时,有时把已知条件中的某些变量赋值,使问题简单明了,从而易于求出函数的表达式。

高中数学函数解析式的求解及其常用方法知识点总结(二)

求函数解析式是中学数学的重要内容,是高考的重要考点之一。本文给出求函数解析式的基本方法,供广大师生参考。

一、定义法

根据函数的定义求其解析式的方法。

例1. 已知,求

解:因为

 

二、换元法

已知看成一个整体t,进行换元,从而求出的方法。

例2. 同例1。

解:令

所以

所以

评注:利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围,即的定义域。

 

三、方程组法

根据题意,通过建立方程组求函数解析式的方法。

例3. 已知定义在R上的函数满足,求的解析式。

解:, ①

所以

评注:方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点,构造另一个方程。

 

四、特殊化法

通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。

例4. 已知函数的定义域为R,并对一切实数x,y都有,求的解析式。

解:令

所以

所以

 

五、待定系数法

已知函数解析式的类型,可设其解析式的形式,根据已知条件建立关于待定系数的方程,从而求出函数解析式的方法。

例5. 已知二次函数的二次项系数为a,且不等式的解集为(1,3),方程有两个相等的实根,求的解析式。

解:因为解集为(1,3),

所以

由方程

因为方程②有两个相等的实根,

所以

解得

①得

 

六、函数性质法

利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。

例6. 已知函数是R上的奇函数,当的解析式。

解析:因为是R上的奇函数,

所以

所以

 

七、反函数法

利用反函数的定义求反函数的解析式的方法。

例7. 已知函数,求它的反函数。

解:因为

反函数为

 

八、“即时定义”法

给出一个“即时定义”函数,根据这个定义求函数解析式的方法。

例8. 对定义域分别是的函数,规定:函数

,写出函数的解析式。

解:

 

九、建模法

根据实际问题建立函数模型的方法。

例9. 用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图1),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?

解:设容器高为xcm,容器的容积为

的导数,得

,那么为增函数;当,那么为减函数;

因此,在定义域(0,24)内,函数只有当时取得最大值,其最大值为

答:当容器的高为10cm,容器的容积最大,最大容积为

 

十、图像法

利用函数的图像求其解析式的方法。

例10. 在同一平面直角坐标系中,函数的图像关于直线对称。现将的图像沿x轴向左平移2个单位,再沿y轴向上平移1个单位,所得的图像是由两条线段组成的折线(如图2所示),则函数的表达式为( )

(A)

(B)

(C)

(D)

解析:由图像求得解析式

向左平移2个单位,向上平移1个单位得到的图像,

所以

因为的图像关于对称,所以互为反函数。

所以

所以选(A)。

 

十一、轨迹法

设出函数图像上任一点P(x,y),根据题意建立关于x,y的方程,从而求出函数解析式的方法。

例11. 已知函数的图像与函数的图像关于原点对称,求的解析式。

解:设的图像上任一点P(x,y),P关于原点的对称点的图像上,

所以

所以

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